0 引　言

密度是材料的重要特性^[1]，其量值测量装置包括比重计、密度梯度柱、真密度计和密度天平等^[2]。这些装置大多价格昂贵，且无法测量蜡、凝胶等低质量（<5 mg）、小尺寸（直径<5 mm）、不均匀、不规则材料的密度，难以普及和推广^[3]。

多年来，磁力悬浮技术因其成本低、方法灵活、易于操作等优点，在生命科学、医疗卫生、智能制备、新材料等领域有着独特的应用优势^[4]。在抗磁材料密度的精密测量中，应用最广泛的是以N极正对的方形磁铁构造出近线性磁场，并将抗磁性材料在顺磁性介质中稳定悬浮，通过测量悬浮高度实现密度的测量^[5]。但这种方法的测量范围与灵敏度均有限，因此国内外学者通过调节磁浮力与重力的平衡关系，研究了一系列高灵敏度、适用于大密度材料的测量方法^[6-7]。通过倾斜测量装置的方式使得密度测量范围扩展至800~3000 kg/m³；引入离心力的作用，通过调节水平方向可控的向心力与磁浮力的平衡关系，实现测量灵敏度的可调性；利用圆环状磁铁替代方形磁铁，使得该测量方法具有更灵活的可操控空间，方便检测过程中抗磁材料的添加与提取。但现有磁力装置缺乏足够的灵敏度来克服样品之间的接触、排斥作用，容易发生聚集，导致分辨率较低^[8]。对于检测材料微小密度差异，如杂质分析、无损检测、质量控制和分离技术等，还需要进一步提高装置的分辨率。

综上所述，针对当前磁力悬浮法存在的问题，本文根据不同磁化方向上磁感应强度的不同，将原本两个N极正对的磁体旋转90°，使磁化方向与重力方向垂直，并设计了沿着弱磁化方向的测量装置。该装置将抗磁性样品置于顺磁性介质中，在外部磁场中，样品受到磁斥力以及由介质磁引力传递到样品上的附加浮力作用，增大斥力的作用效果，使样品稳定悬浮于介质某一高度，根据悬浮高度来测量密度。与N极正对的磁场不同，本装置的磁场梯度减小，测量范围减小，但分辨率显著提高，能有效克服密度相近样品间体积相互排斥的影响，识别出微小的密度差异，且不需要改变磁场梯度大小，不增加装置的复杂性。通过标准玻璃浮子（浮子）的测量实验，验证了该方法的准确性和可靠性。

1 磁力悬浮理论 1.1 测量原理

自然界中的材料一般可以分为铁磁性、顺磁性和抗磁性。顺磁性材料的磁化方向与外部磁场相同，在外部磁场中受到引力作用；抗磁性材料则相反，在外部磁场中受到斥力作用，斥力的大小与材料的磁化率、体积以及磁场梯度有关^[9]。顺磁性介质的引入，使磁力悬浮装置不需要施加强磁场，永磁铁也能使抗磁性样品稳定悬浮^[10]。

介质采用MnCl₂溶液，磁化率通常为10^–4。磁体采用钕铁硼永磁铁，L×W×H（长×宽×高）为60 mm×20 mm×10 mm，中心表面磁感应强度为（0.375±0.002）T。将被测样品沉浸于介质中，在介质两端施加N极正对的磁体。样品受到重力、浮力和磁力的作用悬浮于某一高度。为了提高密度分辨率将磁体旋转90°，得到样品受力情况如图1所示，图中定义了x、y、z的参考坐标系。

设样品的体积为V、密度为ρ_s、磁化率为χ_s，介质的密度为ρ_m、磁化率为χ_m。作用在样品上的磁力F_mag由下式表示^[11]：

式中：μ₀——真空磁导率，4π×10⁻⁷ N/A²；

B——磁感应强度，T；

$ \nabla $——向量梯度算子。

样品重力和浮力的合力F_grav由下式表示：

其中g是重力加速度，9.810 m/s²；当F_mag+F_grav=0时，通过式（1）和式（2）可以计算出样品密度ρ_s：

1.2 磁场仿真

为了研究磁力悬浮机理，对装置悬浮区域磁场进行仿真^[12]。使用有限元仿真软件对磁体间距半宽d/2进行参数化扫描（起始0.002 m，步长0.003 m，终止0.035 m），得到θ=0°和90°的磁感应强度B（x，z）的分布如图2所示，箭头表示大小和方向。

结果表明，磁场梯度由磁体两端向中间递减，在中间出现磁感应强度为0的区间。由于磁场的对称性，样品仅受到水平或垂直方向的磁力作用，使样品趋向于局部磁场最弱的区域，从而简化了磁合力。在θ=0°时，样品受到底部磁体斥力而上浮，受到顶部磁体斥力而下沉，最终悬浮在合力平衡的位置。在θ=90°时，磁场在x轴方向比z轴方向弱，样品受到的磁力大小也较弱，进一步绘制B与间距d的线图如图3所示。

结果表明，θ=0°时，磁场始终沿z轴对称；d≤1.5W时，磁场呈现出较高线性度，但线性区间短，难以观察样品的运动变化；1.5W≤d≤L时，磁场出现波动，并可以恢复到线性状态；d≥L时，磁场出现突变，并无法恢复到线性状态。θ=90°时，磁场沿x轴对称；d≤1.5W时，磁感应强度较强，测量范围相对较大；1.5W≤d≤L时，磁感线迅速下降并趋于平滑；d≥L时，磁感应强度B趋于0，此时具有最高的分辨率，但同时测量范围也最小，此时式（3）可变换为样品表观密度与悬浮高度Δz的函数：

其中S为灵敏度系数，mm /（kg/m³），其倒数即为磁力悬浮装置的分辨率。在磁力悬浮装置中，灵敏度和测量范围耦合，处于低灵敏度，可以测量密度相差较大的样品，但失去分辨微小密度差异的能力；在高灵敏度下，磁场梯度减小，能够在较长的悬浮位移上察觉微小的密度差异。因此，提高分辨率可以通过旋转装置，增大磁体间距，沿着较弱磁场梯度测量。进一步对不同尺寸比例的磁体仿真得出，分辨率还与磁体的长宽比以及磁感应强度密切相关。本装置采用L×W×H（长×宽×高）为60 mm×20 mm×10 mm的钕铁硼永磁铁来获得最佳线性拟合关系。

2 磁力悬浮实验 2.1 浮子悬浮

实验要求环境温度（23±0.2）℃，相对湿度55%~60%。采用TD8620数字式特斯拉计测量磁感应强度，准确度1%；液体密度采用DM45密度计，U=0.05 kg/m³（k=2）；介质温度采用TFX430温度计，MPE：±0.05℃；样品悬浮高度采用CCD工业相机和刻度尺来测量。磁力悬浮实验的参数如表1所示。

实验所用样品来自英国H&D公司的浮子，U= 0.1 kg/m³（k=2）。介质采用MnCl₂乙醇水溶液。在水平和垂直方向分别施加N极正对的磁体，图4显示了浮子在两种磁化方向的悬浮状态。

图4（a）显示了在θ=0°，d=25 mm条件下，5颗密度范围为940~980 kg/m³的浮子悬浮情况。开始时浮子沿着磁场梯度向中间区域运动，随着合力平衡保持相对稳定。但浮子体积间的接触、排斥，阻碍了其继续运动。此时装置的灵敏度系数S_z=0.41 mm/（kg/m³），分辨率Δρ_min=2.4 kg/m³，测量范围的极差Δρ=40 kg/m³。装置具有测量范围大、悬浮间距短、分辨率低的特点。更换5颗浮子，对标称值为960.0 kg/m³的3颗浮子进行悬浮实验。由于密度的微小差异，装置缺乏足够的灵敏度来克服体积间的相互排斥，浮子始终聚集在一起。对介质进行搅拌，其分布状态不断发生变化，但始终聚集在一起，无法拟合密度与高度的函数关系。

图4（b）显示了沿着弱磁化方向，标称值为960.0 kg/m³的3颗浮子的悬浮情况。在初始状态下（d=25 mm），装置灵敏度略微提高，浮子由聚集状态逐渐向上下两端分离，呈现出线性有序排列，但密度相近的浮子间仍然保持硬接触。随着磁体逐渐分离至40 mm时，灵敏度显著提高，密度差异变得更容易察觉，顶部与底部两颗密度差异较大的浮子发生分离。当磁体间距达到60 mm时，3颗浮子完全分离，此时装置灵敏度系数S_x=45.5 mm/（kg/m³），分辨率提高到Δρ_min=0.02 kg/m³，测量范围的极差降低至Δρ=1 kg/m³。实验结果表明，即使是同一制造商、同一批次、标称值相同的浮子依然存在密度差异。

2.2 曲线拟合

在θ=90°时，对不同磁体间距d（25 mm，40 mm，60 mm）进行拟合，得到表观密度与悬浮高度曲线，如图5所示。其中密度差异最小的是底部黄色和白色浮子，两颗浮子间距为95 pixels（24 pixels/mm），密度差为0.08 kg/m³。传统密度测量方法是难以区分的。

进一步研究发现，提高灵敏度除了旋转装置改变磁化方向的测量方式外，还可以通过降低磁感应强度、延长磁体或者增大磁体间距3种方式。然而，这些方式也有限制条件：1）随着灵敏度的提高，被测样品容易向两端运行，测量范围减小，能检测的样品数量少，甚至难以配置合适的溶液来匹配样品密度，使样品满足线性拟合条件；2）极高的灵敏度配置会导致密度和悬浮高度具有非线性关系。虽然这种特性不会妨碍密度的精确测量，但此时密度与悬浮高度的函数关系比线性情况更为复杂。

3 结束语

根据磁阿基米德浮力定律，提出了一种抗磁性材料密度高分辨率测量方法，并设计了实验装置。浮子实验表明，旋转磁体（θ=90°）后沿着弱磁化方向的测量方式，使装置的分辨率提高到0.02 kg/m³，，能够区分出标称值相同的浮子之间的微小密度差异。磁体旋转后的另一个优点是试管顶部没有被磁铁遮挡，方便向试管容器中添加或移除样品，或调整介质的密度（如添加MnCl₂粉末），而不会干扰磁场。磁力悬浮装置适用于低质量（<5 mg）、小尺寸（直径<5 mm）样品的密度测量。

装置也存在不足之处：装置只适用于抗磁性材料密度测量，对其他固体材料来说不具有普遍适用性；增大悬浮间距则会减弱磁场梯度，降低密度和高度的线性关系；装置的参数由仪器结合仿真软件得到，拟合曲线可能存在偏差，还需要固体标准密度对装置进行校准。总体而言，本装置拓宽了磁力悬浮法的应用范围，为密度计量技术提供一条新的研究思路。