0 引　言

励磁系统作为电力系统重要组成部分，对于提高电力系统暂态稳定和抑制低频振荡具有重要意义^[1~2]。由于励磁系统具有较强的非线性特征，所以传统的依据励磁系统定点线性化模型的控制方法对于保证电力系统大范围稳定运行的能力有限^[3]。因此，为了更好地提高励磁控制的性能，保证电力系统的大范围稳定运行，许多学者在励磁系统非线性控制方面进行着不懈的努力，并取得了许多显著的成果。

文献[4]采用基于微分几何反馈线性化方法，将非线性系统分解为线性与非线性两部分，线性部分采用最优二次型方法设计控制律，非线性部分采用动态扩张的方法，最终实现整体线性化，并得到了最优控制解。文献[5]基于协同控制理论，通过选取端电压、功率、转速偏差构建流形，并合理设计控制律，使得系统沿此流形稳定于平衡点，但是控制律中含有交、直轴电流微分项，增加了测量难度。文献[6-7]设计不同类型滑模面相应的控制律，但是用以实现励磁系统不确定性估计的观测器实现比较复杂。文献[8-9]充分采用反演设计方法抵消励磁系统的非线性部分，但是并未对系统的外部干扰影响进行分析。文献[10]基于H_∞理论，通过求解线性矩阵不等式，保证干扰对期望输出的影响小于给定值；文献[11-12]基于微分几何原理，通过微分同胚变换，将励磁系统等效为线性系统，经过对干扰或模型不确定性的状态观测或预测，最终采用变结构或线性系统最优控制方法得到了励磁控制解，但是控制律中含有转速微分项，并且状态观测或预测算法中有较多参数需要调整。文献[13]基于伪广义Hamilton理论对广域多机系统中存在的时滞控制问题进行了分析。文献[14]通过设计布鲁诺夫斯基标准型简化了非线性励磁控制难度，但是没有考虑干扰抑制问题。文献[15-16]采用非线性鲁棒控制的方法对励磁系统的干扰抑制和参数自适应控制进行了分析，但是由于受状态变量和励磁系统模型选取限制，控制律的设计过程比较复杂。

本文在励磁系统模型分析中，将电磁功率 ${{{P}}_{\rm{e}}}$ 作为直接量测量，简化了励磁系统模型，但此时的励磁系统模型不具备严参数反馈系统结构特征，传统反演自适应L₂增益控制方法不适用。为此，本文提出一种扩展反演自适应L₂增益励磁控制算法，实现了励磁系统的稳定控制。在本文所提新的控制方法中，在选用状态变量 ${{{\delta }}_0}{\text{、}}{{{\omega }}_{\rm{N}}}{\text{、}}{{{E'}}_{{\rm{q}}0}}$ 实施控制的同时，由于新增了功率偏差状态量 $\Delta {{{P}}_{\rm{e}}}$ ，所以具有更好的动态控制性能，同时由于给出的控制律所涉及各状态量均可以直接快速测得，所以该方法更有利于工程实际应用。

1 励磁系统模型分析

当受到大扰动影响或在大范围动态工作过程中，考虑到电抗饱和、惯性时间常数误差、阻尼系数变化等不确定性以及外部电磁、力矩等扰动影响^[15]，励磁系统模型可表示为^[17]

式中： $\delta $ ——发电机功角，rad；

$\omega $ ——发电机转子角频率，rad/s；

${\omega _{\rm{N}}}$ ——额定角速度，rad/s；

$M$ ——转动惯量时间常数，s；

$D$ ——阻尼系数，通常难以精量确定，不确定模型参数，N/(m·s⁻¹)；

${P_{\rm{e}}}$ ——机组输出的电功率，kW；

${d_1}$ ——转矩扰动，rad/s；

${E'_{\rm{q}}}$ ——q轴空载暂态电势，V；

${P_{\rm{m}}}$ ——机械输入功率，kW；

$U$ ——电网母线电压，V；

${T'_{\rm{d}}}$ ——暂态励磁绕组时间常数，s；

${T_{{\rm{d}}0}}$ ——励磁绕组时间常数，s；

${x_{\rm{d}}}$ ——直轴同步电抗，Ω；

${x'_{\rm{d}}}$ ——直轴暂态同步电抗，Ω；

${d_2}$ ——电磁干扰，V；

${E_{\rm{f}}}$ ——励磁控制输入，V。

假定励磁系统稳定工作点为 $({{{\delta }}_0},{{{\omega }}_{\rm{N}}},{{{E'}}_{{\rm{q}}0}})$ ，式(1)~式(3)经坐标变换 ${[{x_1}\;\;{{ }}{x_2}\;\;{{ }}{x_3}]^{\rm{T}}} = {[\delta - {\delta _0} \;\; \omega - {\omega _{\rm{N}}} \;\; {E'_{\rm{q}}}]^{\rm{T}}}$ 可得

其中， ${{{a}}_1} = {{{{{\omega }}_{\rm{N}}}} / {{M}}}$ ； $\Delta {P_{\rm{e}}} = {P_{\rm{m}}} - {P_{\rm{e}}}$ ； ${{\theta }} = \displaystyle\frac{D}{M}$ ； ${{y}}$ 为评价信号； ${{{q}}_{{i}}}$ 为加权系数； ${{v}} = - \displaystyle\frac{1}{{{{T}_{\rm{d}}'}}}E_{\rm{q}}' +\displaystyle\frac{1}{{{T_{{\rm{d}}0}}}}\displaystyle\frac{{{x_{\rm{d}}} - {{x}_{\rm{d}}'}}}{{{{x}_{\rm{d}}'}}}U\cos {{\delta }} + $ $ \displaystyle\frac{1}{{{T_{{\rm{d}}0}}}}{E_{\rm{f}}}$ 为预反馈。

由于模型式(4)~式(7)不具备严参数反馈结构特征，所以不能直接采用常规反演自适应L₂增益控制方法实现励磁系统的L₂增益稳定控制。为此，本文提出一种扩展反演自适应L₂增益励磁控制方法。

2 扩展反演自适应L₂增益励磁控制实现

取 ${e_{{1}}} = {x_{{1}}}$ ， ${V_1} = \displaystyle\frac{{e_{{1}}^2}}{2}$ ，由式(4)得

由Lyapunov稳定理论和反演设计理论可知，可将 ${x_2}$ 看作子系统(4)的控制输入，要使子系统稳定，需要满足 ${\dot V_1} < 0$ ，此时可取虚拟控制为

其中： ${m_{{1}}} = {\kappa _1}(\left| {{e_1}} \right|) + {c_1}$ ， ${\kappa _1}(\left| {{e_1}} \right|)$ 为有关 ${e_1}$ 的K类函数， ${c_1} > 0$ 为常系数。

常规反演设计中， ${m_{{1}}}$ 为大于零的常数，本文中引入K类函数 ${\kappa _1}(\left| {{e_1}} \right|)$ 。由K类函数定义可知，当误差 ${e_1}$ 越大时， ${\kappa _1}(\left| {{e_1}} \right|)$ 的值越大，从而可以加快 ${\dot V_1} < 0$ 的速度。另外， ${c_1}$ 大小同样会决定 ${\dot V_1} < 0$ 的速度，且 ${c_1}$ 值越大，子系统稳定速度越快。

取 ${H_1} = {\dot V_2} + \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^3 {q_j^2x_j^2} - {\gamma ^2}d_1^2\right)$ ， ${e_2} = {x_2} - x_2^*$ ，V₂ = $ {{(e_{{1}}^2 + e_2^2)} / 2}$ ，由式(9)得

由式（10）、式（11）得

由式(12)得

取虚拟控制量 $x_3^*$ 为

其中： ${m_2} = {\kappa _2}(\left| {{e_1}} \right|) + {c_2}$ ， ${\kappa _2}(\left| {{e_2}} \right|)$ 为有关 ${e_2}$ 的K类函数， ${c_2} > 0$ 为常系数。 ${\kappa _2}(\left| {{e_2}} \right|)$ 和 ${c_2}$ 的含义同上述的 ${\kappa _1}(\left| {{e_1}} \right|)$ 和 ${c_1}$ 。

则可得误差变量 ${e_3} = {x_3} - x_3^*$ ，取不确定常数 $\theta $ 的估计值为 $\hat \theta $ ，则可得估计误差为 $\tilde \theta = \theta - \hat \theta $ 。

取 ${H_2} = {\dot V_3}\! +\! \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^3 {q_j^2x_j^2} \! -\! \displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^2 {{\gamma ^2}\varepsilon _j^2} $ ， ${V_3} = \displaystyle\frac{1}{2}({{e_{{1}}^2}} +e_2^2 + $ $ {f^2}({e_3}))+ $ $\displaystyle\frac{{{{\tilde \theta }^2}}}{{2\rho }} $ ，由式(13)、式(14)得

其中： $K = f({e_3})\displaystyle\frac{{{\rm d}(f({e_3}))}}{{{\rm d}{e_3}}} \ne 0$ 。

由式(15)得

由式(17)可得控制律和参数自适应律为

将式(18)、式(19)代入式(17)得

由式(20)得

式(21)积分可得耗散不等式：

由式(22)可知，采用控制律式(18)和参数自适应律式(19)，可以实现L₂增益控制。

由式(18)、式(19)可知励磁控制输入是关于 ${e_1} = {x_1} = \Delta {{\delta }} = \int_0^t {\Delta {{\omega }}{\rm d}t} $ 、 ${e_2} = {x_2} - x_2^* = \omega + {m_1}{e_1}$ 、 ${x_2} = \omega - $ $ {\omega _{\rm{N}}} $ 、 ${x_3} = {{{E}}_{\rm q}'} \approx {{U}} + {{{{{{x}}}_{\rm d}'}{{{Q}}_{\rm{e}}}} / {{U}}}$ 、 $\Delta {P_{\rm{e}}} = {P_{{\rm{e}}0}} - {P_{\rm{e}}}$ 、 $U$ 的函数，而这些量可以通过直接测量得到，有利于工程实际应用。电压、功率值可以采用以下瞬时功率计算方法得到。

通过采集发电机的端电压、转速变化量、功角变化量、有功变化量、有功功率和无功功率，代入控制律式(18)和参数自适应律式(19)可以得到扩展反演自适应L₂增益励磁控制输出，进而控制励磁系统受到扰动后依然保持稳定运行。

3 仿真验证与结论分析

为验证所提扩展反演自适应L₂增益控制方法有效性，并与传统PI控制进行对比分析，进行如下仿真试验。仿真中励磁系统模型参数如表1所示。

3.1 负载增加时的仿真

在0.6 s时发电机突然增加50%负载，并在0.7 s时恢复原有负载，常规PI控制仿真图如图1所示。采用扩展反演自适应L₂增益控制时，仿真参数为： ${{{\kappa }}_1}(\left| {{e_1}} \right|) = 3e_1^2$ ； ${c_1} = 5$ ； ${{{\kappa }}_2}(\left| {{e_2}} \right|) = 2e_2^2$ ； ${c_2} = 1$ ； ${f_1}({e_2}) = 2\left| {{e_2}} \right| + $ $ \cos {e_2}$ ； $f({e_3}) = 4\left| {{e_3}} \right| + 2\cos {e_3}$ ； ${q_1} = 0.4$ ； ${q_2} = 0.6$ ； ${q_3} = 0.4$ ； $\gamma = 0.5$ ； $\rho = 1$ ； ${d_1}$ 和 ${d_2}$ 为白噪声。仿真结果如图2所示。

比较图1、图2可知：当在0.6 s出现负载扰动后，相对于传统的常规PI控制，采用本文所提的扩展反演自适应L₂增益控制时，状态变量的恢复时间由原来的大约1.7 s减小至大约1.0 s，转速和暂态电势波动时的最低值明显增加，有利于频率和电压的快速恢复，不确定参数的估计速度较快，在0.5 s内基本完成估计跟随，具有很好的跟随特性，能够满足励磁控制需要。

3.2 三相短路故障大扰动时的仿真

在1.1 s时在并网变压器二次侧发生三相短路故障，并在1.2 s时切除三相短路故障。采用常规PI控制方式仿真图形如图3所示，采用扩展反演自适应L₂增益控制仿真图形如图4所示。扩展反演自适应L₂增益控制采用的控制参数同3.1节。

比较图3、图4可知：当发生短时三相短路故障大扰动时，采用本文所提的扩展反演自适应L₂增益控制可使发电机更能够快速恢复稳定运行，相对于传统的常规PI控制，暂态电势的的恢复稳定时间由2.5 s缩短为1.5 s，超调量明显降低，且励磁控制的幅值明显降低，不确定参数的估计速度较快，在0.8 s内完成估计跟随，具有很好的跟随特性，能够满足励磁控制需要。

4 结束语

本文通过选取电磁功率作为整体测量量，简化了励磁系统模型，鉴于等效后的模型不具备严参数反馈结构，提出一种扩展反演自适应L₂增益励磁控制新方法，其控制律中涉及的状态变量为端电压、转速、功率等可以直接测量得到的物理量，因此该方法可以较方便地应用于工程实际中。通过开展负载扰动和三相接地故障仿真测试实验，进一步证明了所提方法的正确性。仿真结果说明该方法对于提高系统的稳定速度、降低电压冲击具有明显的效果，为提高电力系统暂态稳定能力提供了一种新的励磁控制途径。