0 引言

标准铂电阻温度计测温准确度高，稳定可靠，是历次国际温标中规定的内插仪器。它既是用于国际温标复现的标准仪器，也是温度量值传递链中多个标准等级的标准器，这使它在温度量值传递和精密温度测量中占有极重要的地位。

国际温标的复现或最高准确度的温度计的检定和分度都离不开国际温标定义的固定点和铂电阻温度计。固定点的相平衡温度具有很高的复现性，尤其是水三相点的复现性可优于0.1 mK（国家实验室）。当然，要达到高水平除了需要高准确度的仪器设备，还得有经验的专家按照复杂的操作程序，用较长的时间完成分度工作。需要最高准确度的复现和分度的标准器相对来说是少量的，但是，在我国该种标准器在温度最重要的温标复现和量值传递链中占有4~5个标准等级位置。这些等级标准装置仅就所用电测设备的准确度范围涵盖从10^-7~10^-4差别近3个量级，可见随着标准装置等级的变化，电测设备的技术指标要求差别很大。

从一般量传体系来看，标准装置等级的极大差别必然伴随着测量方法的较大不同，然而国内该种标准在测量方法和理论依据的实际情况并无明显差别。本文先从最常用的W_t参数进行分析讨论其中的原因。

1 国内外专家论述及国内沿革现状

ITS-90国际温标规定，标准铂电阻温度计在温标复现或分度时，温度值t是由该温度时的电阻R_t与水三相点（0.01 ℃）时的电阻R_tp之比来求得的。比值W_t^[1]为

业内专家对式（1）比较详细的解释是“由于是以R_tp值为基点，如果是同一电测设备测得R_t，即在计算比值W_t进而计算实际温度t时，可以最大限度地排除电测设备带入的系统性影响。用比值W_t来计算温度，还能及时地排除标准铂电阻在使用过程中产生的零漂——水三相点值的变化”^[2]。要达到最大限度地减小电测设备的系统误差影响，使用式（1）时应保证用同一台电测设备在同一时间段内测得的R_t及R_tp值计算电阻比值^[2-4]。国际计量局前局长奎恩曾说过，这是为了避免电阻的绝对精密测量，温度计总是按照比值R_t/R₀（R_t/R₀为68温标时），即W（t）分度，这样，实际测量的是电阻率而不是电阻^[5]。这种说法可能给业内专家提供了较为权威的理论支撑。

上述论断基本代表了国内外在国际温标复现和标准铂电阻温度计分度中W_t比值公式发挥作用的认知和共识。一直以来都把式（1）作为分析温标复现和标准铂电阻温度计检定结果时可能存在的误差（限）或不确定度评估的数学模型。20世纪80年代，中国计量科学研究院颁布的资料指出，由电阻类电桥、比较电桥引入的测量误差（限）δW_t^{[2, 6]}为

式中：δW_t——电测设备测得比值的误差限；

A_桥——电测设备的准确度级别。

由式（2）可以看出，不管电测设备的准确度高低或误差大小，在W_t为1时，标准铂电阻温度计的检定或分度结果的误差必定为0；只是随着W_t偏离1的差值增大，检定结果的误差才成比例增大。

较早以前，依据前述的理论和方法，国内权威机构专家依据式（1）作为数学模型分析得出的标准铂电阻温度计分度（检定）误差传递分布的影响结果中，一、二等标准铂电阻温度计分度的温度误差在0 ℃点（或水三相点）都是0 mK^[7]。以式（1）作为分析检定或分度结果不确定度的数学模型，分析结果同样是一、二等标准铂电阻温度计检定分度结果的不确定度在0 ℃点（或水三相点）为0 mK，因为，从文献提供数据可以看出在0 ℃点附近的不确定度根本就没有考虑，只是在0 ℃点以上随着温度的增加才有不确定度并随着温度值的增加而增加^[8]。

上述误差分析和不确定度的结果非常理想，其分析评定方法对业界的影响重大。尽管后来有专家也分析了铂电阻温度计在水三相点的不确定度，并指出在工作中忽略水三相点的不确定度是不正确的^[9]，但业内分析标准铂电阻温度计检定结果不确定度的数学模型及分析评估方法没变。至今国内论著和规程规范就使用标准铂电阻温度计时的测量方法，一般都强调用自己复现水三相点测量取得的R_tp值计算W_t，并以式（1）作为数学模型对检定结果的不确定度进行分析评估，甚至有资深权威专家向业内标准铂电阻温度计的使用者发出强烈忠告：“目前，还有不少的SPRT使用者计算W_t时是使用证书上的R_tp，这是十分错误的”，“用同一电测仪器即测R_tp而不能使用证书R_tp值是很重要的。必须引起SPRT使用者的注意^[6]”。如此，由上级标准装置检定得到的证书数据还有何用？

2 W_t比表达式的分析

标准铂电阻温度计检定完成后，其证书报告中主要给出两种重要参数即R_tp值及各温度点与R_tp值的比值W_t。下面主要对W_t值计算式（1）所呈现的数理逻辑和实际的物理意义进行分析。

2.1 W_t比表达式的误差分析

对式（1）做全微分得：

式中：dW_t——可计算得到的比值W_t的微小误差变量；

dR_t——测量值R_t的微小误差变量；

dR_tp——测量值R_tp的微小误差变量。

假设电测设备电阻测量功能的测量误差限ΔR为

式中：A——测量误差中与读数成线性比例关系的相对误差部分；

B——测量误差中的非线性误差部分，其误差大小一般是相对误差的几分之一。

把式（4）代入式（3）得到电测设备测量误差对W_t值的影响ΔW_t：

把式（5）分类变换后得：

从式（6）看出影响ΔW_t大小的可分成两部分，即线性误差影响和非线性误差影响。由于R_t=W_tR_tp，将其代入式（6）后得：

从式（6）、式（7）的结果可以看出，最后影响ΔW_t大小的只有电测测量的非线性误差部分，电测测量的线性误差对ΔW_t大小影响等于0。这个结果说明：若不考虑非线性误差影响，不管电测设备的相对测量误差是10^-4、10^-5还是10^-7量级，只要它们短时稳定性好，测得的W_t值都是一样的。可能正是这一点让人极力推崇使用者用自测R_tp计算W_t值，因为它好像颠覆了测量设备贵贱和技术指标高低之分，让人以较低水平的设备比肩高水平设备的测量结果。面对这样的结果，如果没有认识到它的使用条件，可能对测量方法造成误导或影响量值传递的准确性和可靠性。

电测设备的相对测量误差大小虽然对W_t值没有影响，在大多数条件下电测的非线性误差尽管比相对误差小，但是，电测设备准确度等级高的非线性误差总是比低等级要小得多，还是上级标准装置测得的W_t值更准确，在常规条件下低等级标准装置要超越上级证书给出的数据是不太可能的，也是不可取的。

2.2 W_t比表达式的不确定度分析

依据不确定度传播律的合成标准不确定度u_c（y）表达式^[10-11]：

式中：u（x_i）、u（x_j）——输入分量的标准不确定度；

—输入分量的灵敏系数；

r（x_i，x_j）——相关系数。

用电阻比W_t的数学模型式（1）及式（3）给出W_t的合成标准不确定度u_c（W_t）的表达式：

式中：u（R_t）、u（R_tp）——电测设备测量R_t、R_tp的不确定度分量；

——分量u（R_t）的灵敏系数；

——分量u（R_tp）的灵敏系数；

r（R_t，R_tp）——R_t与R_tp的相关系数。

在用式（9）进行不确定度分量的分析和合成不确定度评估时，如果暂不考虑电测设备测量的非线性误差部分的影响，那么可以得到：

式（10）证明不管电测设备的准确度高或低，只考虑电测设备的线性相对误差时，由式（9）评估计算的合成标准不确定度趋于0。由于篇幅有限，在这里不给出具体评估过程。

式（10）的不确定度评估结果与式（6）、式（7）分析得到的微小误差限结果意义是相同的，同样可能让人认为使用W_t对减小铂电阻温度计检定结果的不确定度具有至关重要的作用。

2.3 W_t比表达式影响的图解分析

上述分析了W_t比值公式的微小误差限和它的不确定度的一个特例，两种分析评估方法的结果确实让人喜出望外，若实际温度量值传递中用W_t比值对减小检定结果不确定度能有如此强大作用也是求之不得的。

为进一步论证W_t比值在减小检定结果的误差（或不确定度）方面能力的大小，以图形线段的方法进一步分析W_t比值及R_tp值在温度测量和温度量值传递中对结果的影响。为了分析简便直观和便于理解比较，标准铂电阻温度计在水三相点的电阻值R_tp取其标称值25 Ω，其W_t数值取参考函数表中W_r（t）值。

以标准铂电阻温度计在锌凝固点（419.527 ℃）与水三相点的电阻比以点线图形表示，图 1即为2.1与2.2所分析的在电测仪器线性误差条件下的W_t比值。只要水三相点与锌凝固点的温度不变，标准温度计的稳定性好，用不同准确度等级的具有完全线性相对误差的仪器测量时，测得的电阻比W_t值大小是完全相同的。只是在仪器测量存在非线性误差时，测得的电阻比W_t值大小才有不同，准确度等级高的仪器测得的W_t值更准确（这是因为它的非线性误差更小）。

由于水三相点作为温度的基本点，它的温度复现性非常好，标准铂电阻温度计在基本点和其他固定点上分度后，在同一实验室用分度时与其配用的仪器去测量其他温度点，测量结果的温度误差或不确定度会非常小，在冰点附近可非常接近水三相点的测量水平。所以，基于这种原因早前才有专家发文给出一、二等标准铂电阻温度计在水三相点的检定结果不确定度为0 mK^[7-8]，电测设备在其他点引入检定结果的误差由式（2）计算^{[2, 6]}，这好像也是十分科学合理的。

图 1分析的测量设备条件不变，只把图 1中水平坐标轴由温度值换成电阻值，见图 2。从图 2可以看出，同样是在两个温度值丝毫未变的温度固定点上，使用测量准确度水平差别很大的仪器测量（因图中取值变化太小不易分辨观察，故取值变化较大，但并未超出规程规定的R_tp值的允许范围^[4]）。3组测量结果的W_t比值大小相同且与图 1中一样，但R_tp值及R_t值测量结果的误差差别很大。造成这样结果的主要原因是电测设备的测量准确度高低不同，由测量设备系统误差大小不同造成的。文献[2-3, 6]认为使用标准铂电阻温度计时，必须靠用自测R_tp值得到的W_t值来大幅减小电测设备系统误差对检定结果的影响，但实际上并没有减小R_tp值及R_t值的测量误差。

在铂电阻温度计的检定或分度时，电测设备的系统误差对R_tp值及R_t值与W_t值影响大小如何呢？根据一般电测设备的正常测量范围内的非线性误差要比线性相对误差小得多，假设测量R_tp、R_t电阻值的非线性误差是测量R_tp值相对误差的1/4，并把测量R_tp值时的相对误差值大小的绝对值取为1，则可得出其他测量误差点、项与R_tp值的误差值的比，见图 3。

从图中温度点上误差限值可以看出，不管电测设备准确度等级高低，在检定分度结果的误差中R_t（包括R_tp）的误差值比W_t值的误差值大得多。在本文设定的条件下，在锌点电测设备的误差对R_t误差值的影响是对W_t误差值影响的10倍多，在水三相点附近电测设备的误差对两个误差值的影响因为差别太大，无法用具体数字表示它们的倍数。图 3中的误差限的数据比值提示只注意减小电测误差对W_t值误差的影响，而忽视电测误差对R_tp及R_t测量误差值的影响，可能造成顾小失大，漏掉了主要大误差项，反而认为已用最好的技术手段和方法最大限度地减小了检定结果的不确定度的错觉。

受必须用自测R_tp值求W_t值可最大限度地排除电测系统误差对检定结果影响的理论导向，一个典型实例就是二等标准铂电阻温度计标准装置检定工业热电阻采用的测量方法。规程规定^[12-13]使用0.02级电测测量时必须自己在水三相点上重测标准温度计的R_tp值，采用同一电测测量标准器的R_t值与自测得R_tp值的相关性减小W_t比值的不确定度，力图以这种方法最大限度地减小检定结果的不确定度。按其提供的不确定度评定算法，在冰点（0 ℃）用0.02级（也可用0.01级）电测得到的W_t比值的不确定度分量可小于10-6 ℃（即小于0.001 mK），以为这样通过自测标准器R_tp值并利用与标准器测量的R_t值的相关性可解决电测设备的主要误差影响。这种方法实际上是测准了检定热电阻的温度点槽的温度，而忽略电测误差对R_tp值的影响。其实在这种情况下电测误差对检定结果的影响完全转化成在准确冰点上对工业热阻的绝对测量误差（这种测量方法在普通标准装置上一般应该是不提倡的，只是在规程的制修订时都没有发现由于测量过程的改变测量方法已经发生了根本变化，还以为是在用比较法进行检定量传）。如在冰点电测的相对误差对被检热电阻Pt100的误差影响为：ΔR₀=±100×0.02%=±20 mΩ，对应的ΔT=±20/0.390 83=±51.2 mK，如果考虑电测的非线性误差影响，这个误差值会更大。可以看出前者试图用温标复现的温度基准点（水三相点）消除低等级标准装置中标准器的不准确和电测误差，但事与愿违，一个比标准器允许误差大几倍的误差直接进入了检定结果。使用高级设备并没有达到预想的效果，反而使检定结果的误差更大而不知，这或许就是理论误区指引下不正确的测量方法应付出的代价。有关该类温度传感器检定与测量中的测量方法问题更详细的分析论证可参阅文献[14-23]。

3 分析研究总结

在温标复现中采用R_t/R_tp的比可以减小或排除大部分电测系统误差对W_t的影响，但是，定点复现和用于精准量值传递的定点分度不可能避免电阻的绝对精密测量，除非R_tp值及R_t值的准确性在温度量值传递中不重要。一定认为使用W_t的比可避免电阻的绝对精密测量，可能对量值传递结果的准确可靠带来不可估量的影响。

从图 1~图 3可以看出，在温度量传中企图用自测W_t排除电测系统的误差，而忽视电测设备的测量准确度要求或用此法弥补电测设备准确度的不足一般是不可行的。这类似奎恩说过的“当没有采取必要的措施以保证很好地实现固定点的情况下，利用固定点进行所谓的粗略分度，势必造成比想象要大得多的误差”。

在铂电阻温度计作标准用于温度量值传递的检定和分度中，检定温度计的温度点槽的温度测得准确可靠不一定传递的温度量值就准确可信。因为，在大多情况下标准铂电阻温度计传递温度量值是以准确的电阻值作为载体来实现的，固定点的温度再准确可靠，没有在温度点上得到温度计的准确电阻值，是不可能通过该温度计对其他电阻温度计实现准确量传的。电阻值测不准的温度计只能在原分度实验室在短时间内与原配套的电测测量温度还是较准确的，这类似以水三相点温度为基点，测定其他温度点的热力学温度，这种情况下才可避免电阻的绝对精密测量。

在电阻温度计的检定量传中可能因条件和方法不同，会出现检定温度点的温度测得很准而传递下去的量值可能不准；也会出现检定点的温度测得不怎么准而标准温度计检定结果很准，这或许就是测量方法在量值传递测量中所表现的奇妙效果，也说明在量值传递工作中正确运用测量方法的重要性。两者都必须准的情况是在国家实验室温度基准装置用于量值传递的复现或分度时，在其他等级分度或量值传递中要求两者都准是不经济的也是不科学的。与此相近的论证分析见文献[19, 21-22]。

不确定度评定的数学模型与被测量的测量方法和测量过程有关，虽然GUM法评定并不要求模型是完善的，但模型应该较准确反映测量方法和测量过程中的主要关键误差项的数理逻辑关系。否则，不仅影响不确定度评定结果的可信度，还可能影响人们通过不确定度评定结果对测量方法的正确认识和测量过程的优化，本文2.3的实例就是一个很好的例证。

诚然，W_t公式在以水三相点温度为参考基点用电阻比值准确测定其他温度点的热力学温度方面发挥了重要作用。但是，从前面W_t公式所代表的误差限与不确定度的简单分析结果同图 2、图 3中测量误差的主要组成，可以看出W_t公式的误差在总的误差限中只占很小一部分，与其他大误差项相比甚至可以忽略，不会给总的误差限带来明显的影响，所以用式（1）作为检定结果不确定度评定的数学模型与实际测量过程中的数理逻辑关系相差不是一点点。即使在小误差模型式（1）的基础上再采用添加增生大误差项的方法^[8]，但作为分析评估检定结果的不确定度模型还是欠妥的，是很不合理的。

4 建议的数学模型

从上述分析论证可知，在测量温度点温度值完全相同的条件下，千差万别的仪器测量误差（线性）可以得到大小一样的W_t值，即由W_t比值公式所反映的比值和误差限根本就没有体现出千差万别的仪器测量误差（线性）。而R_t值则不同于W_t值，不同的仪器测量误差得到的是不同的R_t值和相应的误差值。既然铂电阻温度计电阻值的准确可靠是保证温度计准确传递量值的必要条件，R_t值和它的误差能反映出标准装置的实际量值传递能力水平，我们认为应该用下式作为标准铂电阻温度计检定结果不确定度评估的数学模型较为合理，即：

本文选择的不确定度评估数学模型为

以现行检定规程规定的定点检定测量方法^[4]，标准电阻温度计检定测量结果中各项数据和参数都符合式（12）的数理逻辑关系，将其作为基本模型较为科学合理符合实际。

式（12）只是变换了式（1）中变量的位置，由求电阻比的不确定度变成求温度计各温度点电阻值的不确定度。对式（12）做全微分得：

式（13）右边第1项既包括水三相点上温度计R_tp的电阻测量误差（线性和非线性）和影响R_tp值的其他因素，也体现了R_tp测量误差通过W_t比率作用对其他温度点电阻测量误差的影响；第2项代表了其他影响固定点复现温度准确性的因素引起的W_t值变化转换成的电阻变化。

可以看出由式（12）导出的式（13）与由式（1）导出的式（3）完全不同。式（3）是把线性测量误差对W_t的影响通过所谓的相关^[2]进行抵消，但漏掉了主要的大误差项，且式（3）中没有考虑其他因素对固定点温度的影响。式（13）既包括到两种测量误差对各温度点影响，同时也考虑到其他因素对固定点温度的影响。因此可以看出，用式（12）作为标准铂电阻温度计检定结果不确定度评估的数学模型更科学合理，评估出的结果会更符合实际情况。

5 结束语

W_t比值公式在测定温度固定点的热力学温度方面具有重要作用，但是它不是万能的。一定要认清从热力学温度的测定到各种温度计的检定量传中W_t比值公式的适用条件和使用变化，不能从上到下不管测量条件和测量的意义已经变化还一成不变地套用公式。由于标准铂电阻温度计在温度量值传递中的重要地位，评估它的检定分度结果不确定度的数学模型对保证温度量值的准确可靠是不言而喻的。不恰当的数学模型不仅使不确定度评估结果产生大的偏差，还会影响对测量方法的正确认识和运用，实际效果可能与计量的宗旨相背离，应引起业内人员足够的重视。